Як зробити програму, яку можна запустити на мобілці, смартфоні тощо?

Думаю, що Java то наш другий проект

Загалом непогано для початку.

Від необхідності писати Math позбавитися можна, але не треба. Математичні функції є методами класу Math. Якщо їх писати просто як Sin, Cos, то створюється враження, що вони є методами поточного класу (в даному випадку класу MainForm), а це не так.

Зрозуміло, що написи Math.Sin роблять математичні вирази не зовсім схожими на їх математичний запис. Що можна зробити? Можна створити коротший псевдонім (alias) для класу Math написавши на початку програми

using m = System.Math;

Тоді замість Math.Sin можна буде писати m.Sin

Інший досить ексцентричний спосіб -- створити делегат (вказівник на метод) у власному класі, та присвоїти йому відповідний метод класу Math

        delegate double _cos(double x);
        _cos cos = Math.Cos;

Тоді можна викликати відповідний метод просто як cos(x), бо це є звернення до поля власного класу. Проте я не рекомендую користуватися таким способом.

Щоб весь час не писати System.Drawing, можна на початку програми написати

using System.Drawing;

Тоді можна буде просто писати "Pen", "Graphics".

У даному випадку немає необхідності створювати об'єкт Graphics для того, щоб малювати на формі. Форма створює його сама і передає його в другому параметрі "e". Відповідно можна просто написати

Graphics formGraphics = e.Graphics;

Знищувати його після малювання не потрібно ("formGraphics.Dispose(); //списав з прикладу").

"polar" писати непотрібно, бо клас MainForm і так мабуть знаходиться в просторі polar.

Форма має свій власний метод Invalidate. Немає необхідності звертатися до нього таким складним чином. Можна просто написати

Invalidate();

І що стосується загальної структури програми... Для простої навчальної програми непогано. Але в практичній програмі непогано було б виділити малювання графіка в окремий клас, нащадок Control -- елемента керування. Бо недобре є те, що позиція графіка обчислюється відносно полів вводу параметрів. Створивши свій клас на зразок

class myGraphic : Control
{
    public double A, B;

    private double r(double fi);

    protected override OnPaint(...);
}

ми отримаємо незалежну компоненту, яку можна буде просто мишою покласти на форму та керувати нею, присвоюючи значення в поля A, B, та викликаючи Invalidate()

Як правильно дізнаватися, який з об'єктів звертається до обробника події, якщо я хочу використовувати його спільно? Наприклад, у моєму проекті з кольоровими кнопками, щоб для всіх кнопок був один обробник, а деталі варіювалися в ньому, залежно від кнопки (switch...)

Обробники подій як правило отримують параметр sender типу object, який є вказівником на об'єкт, що згенерував подію.
Такий параметр не обов'язково повинен бути у обробника подій, але в бібліотеці .NET так прийнято.

Таким чином можна звернутися до об'єкта-генератора події, виконавши відповідне перетворення типу.

Наприклад обробник подій від NumericUpDown в попередній програмі можна написати "оптимальніше" (увага! слово в лапках).

        void NumericUpDownValueChanged(object sender, EventArgs e)
        {
            if (sender == numericUpDownA)
                myGraphic1.A = (double)(sender as NumericUpDown).Value;
            else if (sender == numericUpDownB)
                myGraphic1.B = (double)(sender as NumericUpDown).Value;

            myGraphic1.Invalidate();
        }

Або ще "безпечно":

        void NumericUpDownValueChanged(object sender, EventArgs e)
        {
            if (sender is NumericUpDown)
            {
                if (sender == numericUpDownA)
                    myGraphic1.A = (double)(sender as NumericUpDown).Value;
                else if (sender == numericUpDownB)
                    myGraphic1.B = (double)(sender as NumericUpDown).Value;
            }

            myGraphic1.Invalidate();
        }

У мене вийшло підозріло просто:

    void Button1Click(object sender, EventArgs e)
    {
    Application.Exit();
    }

Звичайно з програми виходять шляхом закриття головного вікна (того, що було передане під час виклику Application.Run(Form)). При закритті цього вікна робота Application.Run(Form) завершується, що призводить до завершення програми (типової). Це загальноприйнятий спосіб.

Для закриття головного вікна достатньо викликати його метод Close().  Якщо вище наведений обробник події є методом головного вікна, то він може виглядати так:

void Button1Click(object sender, EventArgs e)
{
    Close();
}

Application.Exit() в принципі коректний спосіб для .NET Framework 2.0 (не зовсім коректний для попередніх версій, так як не викликав у відкритих вікон подій Closing та Close перед завершенням програми). Але можна сказати, що такий виклик дещо порушує структуру програми. Загалом за вихід з програми повинна відповідати головна форма, і ще хтось десь, невідомо де, не повинен завершувати програму напряму, бо це може порушити зрозумілість програми та можливість повторного використання коду. Application.Exit() слід приберегти для спеціальних випадків.

Дрібні зауваження є, але дуже дрібні.

Замість такої складної конструкції (int)(5*k.NextDouble()) є метод int Next(int) для генерації цілих випадкових чисел.

З концептуальних зауважень є одне. Прямолінійна програма, що маніпулює полями стандартних об'єктів -- це не найкращий стиль. Хоч і цілком придатний для таких невеличких програм. Концептуально краще користуватися об'єктно-оріентованою декомпозицією. Створювати спеціалізовані класи (все одно, що створювати процедури).

Наприклад можна створити клас для ігрової кнопки, інкапсулюючи в нього функціональність, специфічну для такого виду кнопки.

    class PlayButton : Button
    {
        public Color MarkColor = Color.Red;
        private Color BackColorSave;
        private bool Marked = false;

        public PlayButton()
        {
            BackColorSave = BackColor;
            Text = "";
            AutoSize = true;
        }

        public void Mark()
        {
            Marked = true;
            BackColor = MarkColor;
        }

        public void Unmark()
        {
            Marked = false;
            BackColor = BackColorSave;
        }

        public bool IsMarked()
        {
            return Marked;
        }
    }

Це дозволить дещо спростити основну програму, та значно підвищити її зрозумілість. До того ж це спростить майбутнє нарощування функціональності цієї кнопки. Вона буде зосереджена в спеціальному класі, а не розпорошена по всій програмі.

Прив'язки до середовища немає.

Для того, щоб створити відповідний проект в MSVC# можна:

1. Створити новий пустий проект C#
2. Додати до нього файл з цим текстом програми
3. Додати в References проекта модулі System, System.Drawing, System.Windows.Forms
4. У властивостях проекта встановити Output type: Windows application

Це все. Можна запускати.

Про випадкові числа чомусь не згадано у програмі... Чи вони "інкапсульовані"  в якусь із наявних тем? Якщо ні, то треба включити десь ближче до початку курсу. Це дозволить урізноманітнити виклад ігровими елементами. Та й для генерування файлів-тестів штука потрібна.

От я і намагаюсь навчитись. Але трохи ліниво Принаймні, заглядаючи в книги тільки якщо зовсім "заклинить". Хоча, можу похвалитись, що до цієї штуки:

for (int j=0; j<5; j++)
    B[j] = new Button();

додумався сам після того, як програма кілька разів "не пішла". Вирішив, що елементи масиву - вказівники на об'єкти і треба їх визначити.

Я теж щойно спробував. Набрав 38... Видно, не у формі: все-таки майже пів-четвертої ночі.

Виходить, що не треба. Я також читав даний приклад, але не перевіряв так глибоко.

Я написав сьогодні розв"язок третьої задачі на sbs.km.ua (турнір "Леонардо поруч"). Не знаю наскільки оптимально працюю з текстовими файлами. Що може сказати п.Андрій?
using System;
using System.IO;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;
namespace Sidewalk
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            FileStream fi = new FileStream("sidewalk.dat", FileMode.Open);
            StreamReader fin = new StreamReader(fi);
            FileStream fo = new FileStream("sidewalk.sol", FileMode.Create);
            StreamWriter fout = new StreamWriter(fo);
            Int64[] fib=new Int64[51];
            fib[1] = 1;fib[2] = 2;
            for(int i=3; i<51; i++)
                fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
            int n=int.Parse(fin.ReadLine());
            while (n != 0)
            {
                fout.WriteLine(fib[n]);
                n = int.Parse(fin.ReadLine());
            }
            fin.Close();
            fout.Close();
        }
    }
}

Це досить невдале пояснення наступного:

Звичайно змінна має тип, вказаний в її описі, і тип її значення не може змінитися шляхом присвоювання. Будь-яке присвоюване значення буде перетворене, приведене до типу змінної (якщо це можливо, інакше виникне помилка)

Літерали теж мають свій тип. 100 -- integer, 100.0 -- double.

Звичайно присвоювання double x = 100 та double x = 100.0 не відрізняються наслідками. В обох випадках змінна буде містити число типу double значення 100. В першому випадку литерал 100 типу integer буде автоматично приведено до типу double. При чому не обов'язково при виконанні програми, а можливо ще під час компіляції. Таким чином присвоювання літералу відповідного типу не завжди є навіть оптимізацією.

Проте в деяких випадках різниця між integer та double літералами може грати роль. Наприклад
5 / 2 == 2
5 / 2.0 == 2.5

Результатом ділення двох цілих чисел є ціле число (цілочисельне ділення). Тому в C/C++/C# немає спеціального оператора аналогічного div в Паскалі.

Якщо один з аргументів оператора є дробовим числом, то інший аргумент теж буде приведений до дробового типу. Результатом ділення двох дробових чисел є дробове число. Тому типом результату в першому виразі буде integer, а в другому double.

double a = 5, b = 2;
double r = a / b; // в результаті r = 2.5

double r = 5 / 2; // в результаті r = 2.0

Маю надію, що тепер зрозуміло чому саме так.

Як я розумію, ви маєте на увазі, чи є якась стандартна бібліотека для роботи з довгими числами. Я не зустрічав. Мабуть немає. А що таке BigInteger?

Андрей, как мы решили называть кучу? Не очень нравится этот термин.

Словники пропонують "купа". Дещо незвично для зіпсованого суржиком вуха, але точно передає зміст (англ. heap, рос. куча). Слова "куча" в українській мові, схоже, також є, але мені подобається менше.